Когда математика не убеждает

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, А, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер С, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь В. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей, включая даже великих специалистов в области теории вероятностей, интуитивно полагали, что вероятность выигрыша не изменяется при смене игроком двери. Вот что подсказывает интуиция: вероятность - это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Исходов три. Благоприятный исходов  - 1. Вероятность угадать приз - 1/3. После того, как одну дверь с козой  открывают, ситуация меняется. Теперь общее число исходов - 2, благоприятный по-прежнему 1. Вероятность угадать, где приз, теперь - 1/2. То есть 50 процентов. Попрбуйте опровергнуть это.

Вот способ опровержения: первым выбором игрок выделяет две группы, свою дверь и две других. Шанс того, что кадиллак будет в группе из двух дверей изначально больше (66% против 33%). Ведущий открывает дверь с козой и оставляет ту, что выбрал игрок. Соответственно 66%, что авто находится за дверью, которую ведущий оставил заткрытой.

За всё время существования телешоу Монти Холла люди, менявшие решение, действительно выигрывали вдвое чаще:

- из 30 игроков, поменявших первоначальное решение, Кадиллак выиграли 18 – то есть 60%

- из 30 игроков, которые остались при своём выборе, Кадиллак выиграли 11 – то есть примерно 36%

Удивительно, но не всякий выбор из двух вариантов означает вероятность успеха фифти-фифти