Закон маленьких

Маленьких вещей в мире больше, чем больших. А Марк Нигини нашел, как практически можно это использовать. Теперь берегитесь!

Гальки больше, камней. Камней больше, чем валунов... Маленьких луж больше, чем больших. А больших луж больше, чем прудов. Прудов больше, чем озёр, а озёр больше, чем морей... Молекул больше, чем метеоритов, метеоритов больше чем метеоров, метеоров больше чем астероидов, астероидов больше чем планет, планет больше чем звёзд, звёд больше чем галактик... И вообще маленьких вещей больше, чем больших... Тривиальное наблюдение. Очевидное, но строго недоказуемое и внятно необъяснимое.

Открытие Бенфорда, как и многие открытия, было в значительной мере случайным. Листая в библиотеке книжку с таблицами логарифмов, он заметил, что первые страницы книги, на которых помещались логарифмы чисел, начинающихся с единицы, сильнее потёрты и имеют больше повреждений. Значит, листы, на которых помещались логарифмы чисел, начинающихся с единицы, листали чаще. Почему?

Это заинтересовало его и несколько лет он изучал разнообразные числовые ряды: статистику спортивных соревнований, цифры из обзорных изданий, статистику распространённости атомных весов элементов, коммунальных счетов и т.д.

Фрэнк Бенфорд опубликовал свое открытие в 1938 году. Закон, который он вывел, проанализировав больше двадцати тысяч самых разных числовых массивов: в последовательности чисел, которая описывает динамику процесса или множество объектов, числа, начинающиеся в записи с единицы, встречаются чаще всех других. Около 30% чисел начинаются с единицы.

Он также вывел формулы, которые позволяют рассчитать частоту появления каждой цифры в начале числа в том или ином числовом массиве. Единица появляется с вероятностью в тридцать процентов, двойка с вероятностью 18 процентов. Реже всех цифр в начале числа появляется девятка - с вероятностью 4,6 процента.

Закон Бенфорда работает везде, где ведется статистическое наблюдение: динамика рынков, демографические данные, количество акций, купленных и проданных на бирже и т.д.

Объяснение закона Бенфорда

В 1986 году физик Дон Лемонс обратил внимание на вроде бы простое обстоятельство: водоемов площадью от 10 до 20 гектар больше, чем площадью от 20 до 30 гектар, а площадью от 100 до 200 гектар больше, чем площадью от 200 до 300 гектар. Камней больше чем валунов, и т.д.

В природе маленькие и большие вещи (значения любых параметров) распределены равномерно в соответствии с экспотенциальным законом. Это значит, что значения равномерны относительно друг друга, а не относительно некоей равномерной шкалы. Если камней массой 2 кг меньше, чем камней массой 1 кг в N раз, то во столько же раз меньше камней массой 8кг, чем камней массой 4 кг. Потому что 8/4 = 2/1.

Если же мы записываем статистические данные в нашей десятичной системе записи, то оказывается, что восьмёрка в четыре раза "дальше" от четвёрки, чем двойка от единицы. Десятичная последовательность цифр в пределах одного разряда (десятков, сотен, тысяч и т.д.) линейна, а не экспотенциальна.

Поэтому логарифмические шаги между цифрами неравны. Шаг от пятерки до шестёрки равен увеличению на 20 процентов, а от единицы до двойки равен увеличению на 100 процентов.

Практическое применение закона Бенфорда

Американский математик Марк Нигрини нашёл практическое применение закона Бенфорда. Этому закону же следуют цифры в налоговых декларациях и таким образом легко можно определять подтасовки и фальсификации в них!

Нигрини проанализировал более двухсот тысяч налоговых деклараций и обнаружил, как и можно было ожидать в соответствии с законом Бенфорда, что в аутентичных отчетах 30 процентов чисел начинается с единицы. А вот в "нарисованных" декларациях и других бухгалтерских документах, однаруживаются нарушения частоты появления цифр. Оно и понятно, ведь цифры "рисуются" произвольно "вручную" без корелляции с реальными данными, равновесно распределяющимися по экспотенциальному закону. У махинаторов частотность цифр непроизвольно получается ближе к линейно-равномерному распределению.

Марк Нигрини разработал программу по проверке числовых массивов. Она была испытана в 1995 году. Нью-йоркской налоговая полиция в ходе испытания разоблачила семерых налогоплательщиков, скрывающих доходы.

Прежде контролеры могли проверять цифры в декларациях лишь выборочно, теперь же компьютерная программа способна быстро обрабатывать любое количество информации. Если замечается отклонение от закона Бенфорда, плательщика начнут проверять инспекторы, более тщательно.

Некоторые крупные фирмы ("Тексако", "Филип Моррис") тоже купили себе эту программу. Может быть, если они захотят фальсифицировать декларации, то уже с учётом закона Бенфорда?

Оригинал статьи: www.moneymat.ru