Неваляшка по-математически

Хорошо известен принцип действия популярной детской игрушки «неваляшка» — эффект возвращения в одно и то же состояние достигается за счёт смещения центра тяжести. Благодаря этому у неё есть только одно положение устойчивого равновесия (на основании) и только одно положение неустойчивого равновесия (на голове). «Неваляшка» не является геометрическим телом в строгом смысле в силу своей неоднородной плотности — в нижней части неваляшки находится груз. Для математиков долгое время был интересен вопрос существования выпуклого однородного геометрического тела с аналогичными свойствами. Впервые возможность существования таких тел предположил известный российский математик В. И. Арнольд. Сами же тела получили название моно-моностатические.

Поиском «однородной неваляшки» занялись два венгерских математика, Габор Домокош из Будапештского университета технологий и экономики и Петер Варконьи из Принстонского университета. Сначала казалось, что точек равновесия не может быть меньше четырёх: две точки устойчивого и две точки неустойчивого равновесия. Однако в трёхмерном случае удалось сперва доказать существование тела с двумя точками равновесия, а потом и предъявить его пример (см. фото вверху). Построенное тело получило название «гёмбёц», от венгерского gömb, что значит сфера. Само же слово целиком значит подобный сфере, сферический.

Звёздчатая черепаха — аналог «неваляшки» в живой природе. Будучи перевернутой вверх ногами, без особых усилий возвращается в «исходное положение»

Главным свойством гёмбёца, ради которого его и построили, является возврат к одному и тому же положению из любого другого на ровной плоскости под воздействием силы тяжести. Это свойство достигается благодаря его особой выпуклой, округлой форме. По виду гёмбёц достаточно близок к сфере, из-за чего, очевидно, и получил своё название. В своей работе, посвящённой изучению гёмбёца, исследователи так характеризуют само тело и его возможные аналоги:

«На основе представленных результатов не может не сложиться впечатление, что моно-моностатические тела «прячутся» — их трудно представить, трудно описать и трудно опознать. В частности, мы показали, что их форма не похожа ни на каких типичных представителей других классов равновесия. Мы также показали, что они не плоски и не тонки; по сути, они единственные невырожденные объекты, имеющие одновременно минимальную сплющенность и суженность».

Марка Венгрии, иллюстрирующая одно из 30-ти состояний гёмбёца. К выставке Expo 2010 было выпущено 30 различных марок, по одной на каждое из 30-ти фаз движения.

Поверхности гёмбёца имеют сложную скруглённую форму, что и придаёт ему столь необычные свойства. Остаётся открытым вопрос: можно ли построить аналогичное тело, все грани которого были бы плоскими? Авторы гёмбёца полагают, что если такой объект существует, то он должен обладать тысячами граней. Этим, видимо, объясняется размер награды, учреждённой ими за его открытие: 10 тыс. долларов, делённые на количество граней.